Appunti di Analisi Matematica 2

Calcolo differenziale per funzioni di piu' variabili: derivate parziali, derivate direzionali, esempi, una funzione discontinua dotata di tutte le derivata direzionali; differenziabilita`, collegamenti con le nozioni precedenti e con la continuita`, esempi, una funzione continua non differenziabile, nozione di gradiente. Piano m-dimensionale tangente al grafico, significato geometrico della derivata direzionale.
Teorema del differenziale totale. Superfici (m-1)-dimensionali di livello, piano (m-1)-dimensionale tangente. Il gradiente come direzione di massima pendenza.
Funzioni di classe C^k. Multi-indici, formula di Taylor. Forme quadratiche in R^m, forme definite positive e negative, semidefinite positive e negative, indefinite, caratterizzazione mediante il segno degli autovalori della matrice associata. Il caso m=2: caratterizzazione mediante il determinante e la traccia.
Spazi metrici: generalita', esempi; palle, intorni, aperti, successioni, limiti, punti d'accumulazione, chiusi; parte interna, chiusura e frontiera di un insieme; insiemi limitati, funzioni continue fra spazi metrici. Compattezza e compattezza per successioni: teorema di equivalenza in spazi metrici, esempio di insieme limitato e chiuso ma non compatto. Successioni di Cauchy, completezza, teorema di caratterizzazione degli spazi metrici compatti come quelli che sono completi e totalmente limitati.